ローンがついている不動産を家族信託できますか?

可能ですが、借入先の金融機関の承諾が必要です。不動産を家族信託すると、委託者から受託者に形式上所有権が移転されます。
金融機関からの借り入れ時に締結する「金銭消費貸借契約書」の中に「所有権を移転する場合には金融機関の承諾が必要」という条項が必ず入っています。
金融機関に無断で家族信託をするとこの内容について契約違反となり、最悪の場合一括での返済を求められてしまう可能性があります。そのため残債が残っており担保に入っている不動産を家族信託する場合には必ず借入先の金融機関に相談するようにしてください。
 
家族信託による所有権の移転登記の手続き自体は、金融機関の承諾がなくても可能なため、金融機関に相談なく実施しているケースがあるようですが、トラブルやリスク回避のためにもやはり事前に相談するのがよいでしょう。